'e' (गणितीय अचर)

गणितमा e एक प्रागनुभविक संख्या हो। यसको मान लगभग २.७१८२८ हुन्छ। यसलाई कतै-कतै 'इयुलर संख्या' (Euler's number) पनि भनिन्छ। e एक महत्त्वपूर्ण गणितीय अचर हो। प्राकृतिक लघुगणक (Natural Logarithm) को आधार यही संख्यालाई लिइन्छ।

y = 1/x समीकरणको ग्राफ . यसमा, e भनेको १ भन्दा ठूलो त्यस्तो संख्या हो जसले छायाँ परेको भागको क्षेत्र १ बराबर हुन्छ।

परिभाषा

e लाई निम्न दुई अभिव्यक्तिद्वारा परिभाषित गरिएको छ-

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\cdots$

गुण

e एक अनुभवजन्य अपरिमेय संख्या हो।

क्याल्कुलस

एक्सपोनेन्शियल फलन e ^x यसकारण पनि महत्त्वपूर्ण छ किनभने यो एक मात्र फलन (Function) हो जसको डेरिबेटिभ (Derivative) यहीँ फलन हुन्छ।

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

त्यसैले यसको एन्टी-डेरिभेटिभ पनि e ^x नै हुन्छ:

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C.$

प्रयोग

चक्रिय ब्याज

The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies. The limiting curve on top is the graph $y=1000e^{0.2t}$, where y is in dollars, t in years, and 0.2 = 20%.

जेकब बर्नोलीले यो अङ्क १६८३ मा चक्रिय ब्याज सम्बन्धी प्रश्नको अध्ययन गर्दा पत्ता लगाए:

एक खाता $ १.०० बाट सुरु हुन्छ र प्रति वर्ष १०० प्रतिशत ब्याज भुक्तानी गर्दछ। यदि ब्याज एक पटक जम्मा भयो भने, वर्षको अन्त्यमा, वर्षको अन्त्यमा खाताको मूल्य $ २.०० हुनेछ। यदि वर्षमा धेरै पटक ब्याज गणना गरिएको छ र क्रेडिट गरिएको छ भने के हुन्छ ?

यदि वर्षमा दुई पटक ब्याज क्रेडिट गरियो भने, प्रत्येक ६ महिनाको लागि ब्याज दर ५०% हुनेछ, त्यसैले प्रारम्भिक $ १ लाई १.५ ले दुई पटक गुणा गरिन्छ, वर्षको अन्त्यमा $ १.०० × १.५२ = $ २.२५ जम्मा हुन्छ। त्रैमासिक चक्रिय ब्याजले $1.00 × 1.25⁴ = $2.44140625 जम्मा हुन्छ र मासिक $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035... जम्मा हुन्छ । यदि n कम्पाउन्डिङ अन्तरालहरू छन् भने, प्रत्येक अन्तरालको ब्याज 100%/n हुनेछ र वर्षको अन्त्यमा मूल्य $ $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ हुनेछ।

यो पनि हेर्नुहोस्

• पाई