अंकगणितीय अनुक्रम

गणितमा अङ्कगणितीय अनुक्रम वा समानान्तर श्रेणी (Arithmetic progression) अथवा समानान्तर अनुक्रम सङ्ख्याहरूको एउटा यस्तो अनुक्रम हो जसको प्रत्येक पद अघिल्लो पदभन्दा कुनै निश्चित सङ्ख्याले बढीरेहेको वा घटिरेहको हुन्छन जस्तै : ३,७,११,१५, ............समानान्तर अनुक्रम हो ।

यदि कुनै अङ्कगणितीय अनुक्रमको प्रथम पद $a_{1}$, र समान अन्तर d छ भने त्यस श्रेणीको iऔ पद ($a_{i}$) निम्न प्रकार लेखिन्छ:

$a_{i}=id+a_{0}\,$

र व्यापक रूपमा यसरि पनि लेखिन्छ :

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

अङ्कगणितीय अनुक्रमको सिमित भागलाई सिमित अङ्कगणितीय अनुक्रम भनिन्छ र सामान्यतया यसलाई समानान्तर श्रेणी भनिन्छ । सिमित समानान्तर श्रेणीको योगलाई समानान्तर श्रेणी भन्ने गरिन्छ ।

अङ्कगणितीय अनुक्रमको व्यवहार यसको समान अन्तर d माथि निर्भर हुन्छ । यदि समान अन्तर:

• धनात्मक छ भने यसको पद धनात्मक अनन्त तिर अगाडि बढ्छ ।
• ऋणात्मक छ भने यसको पद ऋणात्मक अनन्त तिर अगाडि बढ्छ ।

अङ्कगणितीय अनुक्रम जस्तै ज्यामितीय अनुक्रम (Geometric Progression) पनि अर्को अनुक्रम हो जसमा एउटा संख्या अघिल्लो संख्या भन्दा निश्चित अनुपातले घटी वा बढी हुन्छ।

योग

अङ्कगणितीय अनुक्रम n पदहरूको योग

$s_{n}=a_{0}+(a_{0}+d)+(a_{0}+2d)+\dotsb +(a_{0}+(n-1)d)+(a_{0}+nd)=\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+id)$.

$s_{n}=\sum _{i=0}^{n}(i\cdot d+a_{0})=a_{0}(n+1)+d\,{\frac {n(n+1)}{2}}=(n+1)\left(a_{0}+d\,{\frac {n}{2}}\right)$.

विशिष्ट योग

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=\sum _{k=0}^{n-1}(2k+1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n^{2}$

यहाँ $a_{0}=1\,$, $d=2\,$.

बाह्य लिंक

• अङ्कगणितीय अनुक्रम